Tämän kevään matematiikan ylioppilaskoe oli toiseksi viimeinen perinteinen paperille ratkaistava koe. Ylioppilaskokeen järjestelyistä vastaavat huokaisivat helpotuksesta, kun viimeinen sähköinen koe perjantaina 23.3.2018 oli pidetty ja vuorossa oli enää paperinen matematiikan koe. Sen järjestelyissä kun ei tarvinnut olla huolissaan tekniikan toimimisesta. Ainoa huono puoli tuossa kokeen päivässä oli se, että koepäivä oli maanantai, minkä takia laskimet ja taulukkokirjat piti tarkistaa perjantaina. Kirjoitussaliin niitä ei voinut viedä vielä perjantaina, koska siellä oli ylioppilaskoe menossa ja kaapeloinnin purku alkoi heti kokeen loputtua.
Pitkän matematiikan ylioppilaskoetehtävät löytyvät Abitreenien sivuilta. Ylioppilastutkintolautakunnan hyvän vastauksen piirteet kannattaa katsoa täältä, sillä tuo Abitreenien sivuilta löytyvä ei ole korjattu versio. Tällä kertaa tehtävissä oli aikaisempiin kaksiosaisiin kokeisiin verrattuna erilaista se, että pitkän matematiikan kokeessa ei ollut monivalintatehtävää eikä yhteistä tehtävää lyhyen matematiikan kanssa. Näin oli ollut kaikissa neljässä edellisessä kaksiosaisessa kokeessa. Kaiken kaikkiaan tehtävät olivat hyvin perinteisiä, jopa vähän tylsiä matematiikan tehtäviä.
Pakollisen ja ilman laskinta tehtävän A-osan neljästä tehtävästä ensimmäinen oli mukava perustehtävä polynomifunktion arvon, derivaatan arvon ja määrätyn integraalin laskemisesta. Tämän ovat varmasti useimmat osanneet, tosin laskuvirheitä, derivointi- ja integrointivirheitä tähänkin pystyy tekemään.
Tehtävän 2 aiheena oli toisen asteen polynomifunktion tekijöiden ja nollakohtien yhteys. a-kohdassa piti kirjoittaa tulomuodossa oleva polynomi summamuotoon. Tämä oli helppo perustehtävä. b-kohdassa piti tehdä sama takaperin eli kirjoittaa annettu toisen asteen polynomi tulomuotoon. Pisteytysohjeen mukaan tähän olisi pitänyt vaatia nollakohtien laskeminen ja sitä kautta tuloksi kirjoittaminen. Polynomin tulomuoto on kuitenkin niin helppo nähdä, että mielestäni on tarpeetonta vaatia tähän välivaiheita. Piste rokotetaan silloin hyviltä päässälaskijoilta. c-kohdan osoitustehtävä oli astetta haasteellisempi ja siinä oli työtä kahteen pisteeseen aika paljon. a- ja b-kohdat houkuttelivat osan kokelaista käyttämään tässä esimerkkitapausta, josta pisteitä ei annettu.
Tehtävässä 3 piti ratkaista trigonometrisen funktion suurin ja pienin arvo välillä 0≤x≤2π. Tämä ei ollut enää kaikille helppo tehtävä. Derivointi sujui suurimmalta osalta, mutta derivaatan nollakohtien hakeminen ollutkaan niin helppoa, kun joutui ratkaisemaan yhtälön vain taulukkokirja apunaan. Jos nollakohdat löytyivätkin, niin funktion arvojen laskemisessa oli ongelmia. Tämänkaltaisia tehtäviä löytyy kaikista trigonometrian oppikirjoista.
Viimeinen eli neljäs A-osan tehtävä oli hieman erikoisempi ja siitä ei täysiä pisteitä kovin monelle saanut antaa. Tehtävässä oli annettu erään paloittain määritellyn funktion kuvaaja. Tekstissä puhuttiin ikkunafunktioista, joiden avulla voidaan kuvata ajastimen toimintaa. Tämä lause oli vähän hämäävä, koska sillä ei ollut merkitystä tehtävän kannalta. Funktion 2f(x) suurin osa osasi piirtää annetulle välille, mutta xf(x) ja f(x+3/2) olivat useimmilla väärin. Tällaisia tehtäviä harjoitellaan kursseilla aika vähän, joten tämä oli monelle aika outo tehtävä.
Kokeen B-osassa saa käyttää laskinta, joten tehtävissä ei yleensä suoraviivaisia tehtäviä tyyppiä "ratkaise yhtälö" esiinny. B-osa jakaantuu kahteen osaan, joista kummastakin pitää ratkaista kolme tehtävää. Tämän ohjeen noudattaminen on aina välillä osoittautunut haasteelliseksi.
B1-osaan kuuluivat tehtävät 5-9. Tehtävä 5 oli analyyttisen geometrian aihepiiristä. Piti muodostaa annetuilla ehdoilla ympyrän yhtälö, laskea ympyrän pisteiden y-koordinaatit, kun x=1 ja laskea ympyrän etäisyys annetusta suorasta. Tämä voisi olla suoraan jostain oppikirjasta. Lähes kaikki ratkaisivat tämän tehtävän ja suurin osa sai hyvän pistemäärän. Ympyrän ja suoran etäisyyden laskemisessa käytettiin monenlaisia tapoja, lyhyitä ja erittäin pitkiä, mutta monet mutkikkaatkin laskutavat tuottivat oikean tuloksen.
Tehtävä 6 oli Suomi 100 -tehtävä eli samanlainen tehtävä kuin keväällä 1917. Vanhoja matematiikan ylioppilaskoetehtäviä löytyy Suomen Matemaattisen yhdistyksen sivuilta. Tehtävänä oli laskea, missä suhteessa hypotenuusan keskinormaali jakaa pitemmän kateetin suorakulmaisessa kolmiossa, jonka toinen terävä kulma on 30 astetta. Tämä tehtävä on mahdollista ratkaista erittäin monella tavalla oikein, mikä on hyvän tehtävän merkki.
Tehtävä 7 oli lottoarvontaan liittyvä todennäköisyyslaskennan tehtävä, jollainen löytyy jokaisesta todennäköisyyslaskennan oppikirjasta. Paljon tätä yritettiin laskea, mutta onnistuneita suorituksia ei kovin monta omiin tarkastamiini papereihin osunut.
Tehtävä 8 liittyi kokonaisluvun jakamiseen tekijöihin. Tehtävä oli kiva ja helppo, eikä vaatinut lukuteorian ja logiikan syventävän kurssin tietoja, vaikka tuon kurssin tehtäväksi oli ilmeisesti tarkoitettu. Perustelut ja joidenkin vaihtoehtojen puuttuminen verottivat vähän pistemäärää.
Tehtävä 9 oli numeeristen menetelmien syventävän kurssin aihepiiristä. Newtonin menetelmä on yksi ylioppilakokeissa useimmin kysyttyjä numeerisia menetelmiä. Tehtävään oli laadittu sudenkuoppa, johon liian moni lankesi. Newtonin menetelmällä ei pitänyt ratkaista annetun funktion, vaan sen derivaatan nollakohtia. Pisteytysohjeen mukaan tällöin sai vain yhden pisteen kuudesta mahdollisesta. Pari asiaa tehtävässä ja sen pisteytyksessä kuitenkin ihmetytti. Newtonin algoritmi tuottaa ratkaisun nopeasti, tässä tehtävässä ensimmäisellä alkuarvolla viiden ja toisella alkuarvolla neljän iteroinnin jälkeen. Miksi tehtävässä pyydettiin laskemaan vain kolme iteraatiota? Annetulla tarkkuudella desimaalit eivät vielä olleet samoja tuolla iteraatiomäärällä. Toinen ihmetyksen aihe liittyy siihen, että vastauksessa ei vaadittu selvittämään sitä, ovatko löydetyt derivaatan nollakohdat ääriarvokohtia ja jos ovat, niin minkätyyppisiä. Yleensä on kiinnostava tieto, onko löydetty laakso vai kukkula vai kenties ei kumpaakaan!
B1-osan kaikki tehtävät olivat laskettavia ja jokaisesta löytyi kuuden pisteen suorituksia tarkastamieni papereiden joukosta. Samaa ei voi sanoa B2-osasta. Kaikki eivät löytäneet mitään valittavaa B2-osasta, jotkut löysivät yhden, jotkut kaksi ja jotkut yrittivät huonolla menestyksellä kolmea. Vaatimustaso nousi aivan selvästi B2-osaan mennessä, mutta onko kynnys tarpeen tehdä näin korkeaksi?
Tehtävässä 10 piti vertailla kahta erilaista vektoreiden pistetulon ratkaisua. a-kohta eli käytetyt kaavat löytyivät kyllä, mutta b-kohta oli oikein vain harvoilla. c-kohdan vaiheiden selitys tuotti useimmiten vain toisen pisteistä. Tehtävätyyppi on sinänsä ihan hyvä, mutta tällä kertaa tehtävään sisältyi kaksi asiaa, joita ei yleensä vektoreiden ja trigonometrian opetuksessa tule esille. Kosinin ja sinin summa- ja erotuskaavat tulevat esille vain joissakin oppikirjan tehtävissä. Ne toki löytyvät taulukkokirjasta ja jotkut osasivat niitä tulkitakin. Vektorin esittäminen pituuden ja vaihekulman avulla ei tule vastaan lukiokurssissa, ainakaan niissä kirjoissa, joita olen itse opetuksessa käyttänyt. Olinkin tosi hämmästynyt, kun joku oli tämän osannut piirtää oikein.
Tehtävässä 11 kysyttiin esimerkkifunktioita. Tällaisia tehtäviä harjoitellaan jonkin verran, mutta oliko tarpeen laitta tähänkin tehtävään a- ja b-kohdat? Mielestäni yksikin kohta olisi riittänyt. Annettujen ehtojen täyttymistä eivät kaikki muistaneet perustella. Suurin osa esitetyistä funktioista toteutti vain osan ehdoista eikä oikeuttanut pisteisiin.
Tehtävän 12 a-kohdassa oli virhe. Väite on voimassa, jos a>1 tai 0<a<1. Tutkittavaa funktiota ei ole määritelty ollenkaan kohdassa a=1. a-kohta oli sen verran haasteellinen opettajallekin, että piti lukea muutaman kerran ennen kuin ymmärsi, mistä tässä on kysymys. Ei ihme, että opiskelijat sekoilivat tässä. Tyypillinen väärä ajatus oli, että kasvavan funktion käänteisfunktio on vähenevä. b-kohta oli differentiaali- ja integraalilaskennan syventävän jatkokurssin asiaa. Helppo tehtävä, jos osasi käyttää määrätyn integraalin derivointia ylärajan suhteen. Aika harva osasi.
Tehtävä 13 oli sitä tasoa, että todennäköisesti kaikki matematiikan ensimmäisen vuoden yliopisto-opiskelijatkaan eivät siitä heti selviäisi. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssin tietoja vaativa tehtävä voisi olla vähän kohtuullisempikin. Tänä vuonna en itse tuota kurssia pitänyt, mutta aikaisemmin olen yleensä jättänyt toispuoleiset derivaatat aika vähälle huomiolle. Kurssilla on valtavasti asiaa, josta suurin osa menee tavallisen lukiolaisen käsityskyvyn ulkopuolelle. Äärelliseen tuntimäärään on tehtävä jonkinlaista karsintaa käsiteltävissä asioissa. Ylioppilaskokeessa voidaan kysyä aina johonkin opetusuunnitelman reuna-alueelle kuuluvia tehtäviä.
B2-osan vaativuus tekee kokeesta sellaisen, että laudaturin pisteraja on todennäköisesti lähellä 50 pistettä, jopa sen alle. Maksimipistemäärä on 60. Toisaalta tehtävissä oli myös sellaisia, joista lähes kaikki pääsivät pisteille, niin voisi toivoa, että läpipääsyraja on yli 10 pistettä. Näin olen kuvitellut usein ennenkin ja lopputulos on ollut, että a:n raja on ollut 8 pistettä.
Vuoden päästä olemme tekemässä ensimmäistä sähköistä matematiikan ylioppilaskoetta. Jos ja kun tehtäviä on yhtä paljon kuin nyt, aika ei tule kokelailta riittämään. Olin valvomassa matematiikan koetta tänä keväänä iltapäivällä klo 14-16 ja reilu puolet kokelaista oli paikalla vielä klo 14.30, kun kuuden tunnin koeajasta oli jäljellä puoli tuntia. Kun läksin pois klo 16, saliin jäi vielä useita lisäaikaan oikeutettuja opiskelijoita. Toivottavasti ensi kevään tehtävistöstä jätettäisiin pois joitakin erillisiä a,b,c -kohtia. Paperille on niin paljon nopeampi kirjoittaa kuin etsiä jostain merkkiviidakosta haluamaansa merkkiä. Ja erityisen paljon nopeampaa on piirtää mallikuvio merkintöineen paperille kuin tietokoneella!
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti